Basicamente sim, o documento privado funciona, mas há um detalhe importante que vários estão deixando passar. O papel que vocês dois fizeram é válido legalmente, mas isso não significa que seja suficiente para tudo. Quando você for ao registro de trânsito mudar os papéis do veículo, eles vão verificar se está bem assinado, se tem os dados corretos de ambos, a placa, o chassi... tudo isso. Se vocês fizeram com cuidado e está tudo claro, provavelmente aceitam sem problemas. Agora, a questão é que se algo der errado depois (uma reclamação, um problema com financiamento, o que for), um documento privado entre dois colegas é muito mais fraco do que um feito em cartório. Não estou dizendo que passou algo estranho, mas legalmente falando, sem cartório há menos proteção para qualquer um de vocês.
Meu conselho realista é você verificar direto na Direção Geral de Trânsito da sua província ou no registro automotivo local, porque apesar de na maioria dos lugares aceitarem o documento privado, alguns pedem coisas mais específicas. Alguns registros te dizem que leves o papel do jeito que está e pronto, outros te pedem que certifiquem, outros pedem um modelo de contrato específico. É meia hora de ligação e você tira a dúvida. Se por qualquer razão o registro disser que não vale, aí sim vocês têm que ir a um cartório, mas é quase certo que aceitam. O importante é que o documento esteja bem feito: nomes completos, CPFs, placa e chassi corretos, valor em dinheiro, data e as duas assinaturas claras.