Sim, "comunque" no início da frase é correto, fica tranquila. Não é uma coisa que "se diz desde sempre", é gramaticalmente válido mesmo. Comunque funciona como advérbio de transição e pode ficar no início de uma frase sem problemas, talvez seguido de uma vírgula para clareza ('Comunque, não vou à festa'). Sua mãe provavelmente acha que é muito informal ou que soa estranho, mas isso é gosto pessoal, não uma regra.
O fato é que comunque tem um significado um pouco diferente de todavia ou porém. Todavia e porém introduzem uma contraposição de verdade ('Queria ir, porém está cansado'), enquanto comunque sinaliza mais uma conclusão ou uma continuação independentemente do que foi dito antes ('Gostaria de ir, comunque prefiro ficar em casa'). Funciona bem em tons mais coloquiais e informais, coisa que talvez sua mãe sinta como menos "correta", mas é comunque correto mesmo assim. Simplesmente os três conectivos têm usos um pouco diferentes.