Deixa eu ser direto: um notebook de 2011 vale talvez 50-100 euros num site de usado, então cobrar mil paus pra tentar consertar é absurdo mesmo. O técnico tá te oferecendo um serviço, não uma garantia de resultado. Legalmente ele pode cobrar pelas horas de trabalho mesmo que não consiga resolver, mas no caso de uma assistência autorizada, deviam ser mais transparentes sobre isso antes de mexer no aparelho.
O que eu faria: primeiro, pede um orçamento detalhado e por escrito antes de qualquer coisa. Pergunta exatamente o quê ele vai fazer, quanto tempo leva e qual a possibilidade real de funcionar. Se disser que não sabe sem abrir, tudo bem, mas aí cobra só pela diagnose mesmo, não pela "tentativa". Se insistirem em mil euros sem te dar clareza, procura outra oficina menor - técnicos independentes costumam ser mais em conta e muitas vezes resolvem o problema por muito menos.
Sinceramente, se o custo da reparação ficar perto do valor de um notebook usado decente, não compensa. Mas antes de desistir, tira uma foto do modelo exato e vê em fóruns ou vídeos do YouTube se é um problema comum e fácil de resolver. Às vezes é só bateria morta, conector solto ou algo assim.