O problema aqui é que o gajo está a tentar contornar o sistema porque provavelmente quer evitar que o seguro vire para cima dele (o que acontece quando há reclamações). Mas isso não é contigo. Se comunicaste o sinistro à seguadora, a obrigação legal é deles lidar com a indemnização. O outro pode reclamar à tua seguradora, e pronto - é com eles que ele se discute.
O truque prático que ninguém mencionou: documenta tudo por escrito. Se ele te pressiona para pagamento direto, manda um email ou SMS a dizer claramente que já reportaste o sinistro e que a seguradora é responsável. Guarda isso. Se ele insistir, pode sempre mostrar à polícia que tentou coagir-te a fazer um acordo por fora (o que é duvidoso legalmente). Além disso, se aceitares pagar tudo de bolso agora, depois não podes pedir reembolso à seguradora - é tudo ou nada.
A estratégia mais sensata é contactar a tua seguradora novamente, dizeres que o outro está a pressionar-te, e pedires um contacto directo da pessoa responsável ou um número de sinistro para dares ao gajo. Deixa que sejam eles a explicar a ele como funciona. Ele pode não gostar, mas não é problema teu - foi ele que bateste, tu já avisaste.